グリーンの靴下の夢

白い靴下を履いている息子が、別の靴下を探している。「グリーンの靴下があったでしょう」と母親が子に言う。

母親は、息子がすでに履いている白い靴下の上から、覆うようにして緑色の靴下を柔らかいゴムのようにのばして履かせていた。

起床。

これは母子の実際の朝の会話が耳に入ってきて、それがそのままイメージになっただけの気がする。実際に子は緑色の靴下を履いていたので間違いないはずだ。たぶん息子は最初から白い靴下を履いていなくて、その点が現実と相違していたから、おかしなズレが生じたのだろう。

タイリングの色付けについて、escape timeな尺度で色付けをすると、明らかに同じタイルの中で違う色に塗られているケースがあって、どうしたら「普通に」塗れるのだろう、と数日の間考えていた。

なぜ色が変わってしまうのかといえば、escapeするまでにかかった回数と、基本のタイルをぺたぺたとタイリングするときに必要な最小の手数とが必ずしも一致しないからだ（これはFord領域を構成する等長球面が重なるときに起こる）。たとえば、escapeするまでにかかった二つの変換が「A」と「ABBB」という変換だったとしたら、escapeの回数としては２回だけれど、変換としては「ABBBA」（左作用で考えた場合）になるから、群のケーリーグラフの語距離としては５になる。こういったズレに加え、変換を合成した場合に簡略化されて語距離が変わるようなケースもある。アルファベットであらわした変換の逆変換を小文字で書くことにするとして、たとえば「AB」の後に「BBa」を（左へ）合成すると、「BBaAB=BBB」になる、みたいなケースだ。だからescapeするまでに受けた変換に対して、その変換に対応するwordの累積も記録しておいて、無事escapeできたらwordを簡約できる場合は簡約したwordを求めてそれをもとに色付けする、といった感じの手順をやる必要がある。

というようなことに一昨日くらいの風呂の中でようやく気付き、それを実装したら思うようなものができたので、非常にすっきりした気分になっている。