タイル整理の夢

北海道みたいな形をしたタイルが、左手側に複数ある。左側から念力みたいな力を作用させると、タイルの大きさが小さくなったり、大きくなったりする（基本的には小さくするようにしている）。

大きさを変えたタイルを、最初の大きさのタイルとうまく組み合わせると、もとのタイルと同じ形のちょっと大きいタイルができる。組み合わせは２枚だけでなく、3枚や４枚の場合もある。当然枚数が多くなるほど難しくなる。

そうやってたくさんあるタイルを「整理」していると、どこからか荒々しく走る子の足音が聞こえてくる。

起床。

夢に出てきたタイルは、先日「一筆書きがしたい」と言っていたタイルのことだ。タイル張りをよく見ると、となりあったタイルを組み合わせてできる相似形があるのがわかる。

「同じ形はいくつあるでしょう？」みたいなクイズとして考えてみると、結構難しいような気がする。任意のnに対して、適切なサイズのn枚のタイルで相似形を構成できる、はずなんだけどちゃんと向きを合わせたりするのが自明ではないように思う。

ある３次方程式を満たすような数に基づくタイル張りなので、タイルの分割比もその方程式と整合している、というのを目で確認してみたりしている。ただ、「辺の合わせ方」は適当ではだめで、何かしらのルールがあるような気がする。

懸念だったギザギザの辺の「一筆書き」もできた。あとはこれをSVGデータか何かに描き出して、CADで読み込ませて3Dプリンタに送って、現物として作成してみようと考えているが、まだ実行していない。

「一筆書き」のための順序について、先日は「直前に通ったドアが左か右かで場合分けすればよいのでは」と思っていたが、その後もう少し手を動かしてみたら、それは間違っていたことがわかった。

正しくは「今までの経路で右側のドアを奇数回通っていれば次のドアも右側を先に開ける。偶数回ならば次は左のドアを先に開ける」というふうにして次に開けるドアの優先順位を決めればよい。ちゃんと証明をしたわけではないけど、これで思うような順序で描かれているし、理屈も合うので納得はしている。

「記号力学系と数系タイル張り」によれば、タイルの境界はBuchi Automatonで記述されるということが「隣接分野の研究者にはよく知られているが、論文等に明記されていない」らしい（P.362）。まあ、そういうことってあるよね。

Buchiオートマトン、隣接オートマトン、接触オートマトン、オートマトンにもいろいろあるようだ。自分が欲していたのは、接触オートマトンという概念なんだろうか。